Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle

Pour calculer l’aire d’un triangle rectangle, multipliez les deux côtés qui forment l’angle droit, puis divisez le résultat par 2 : A = (a × b) ÷ 2. Par exemple, si ces côtés mesurent 6 cm et 8 cm, l’aire est de (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm².

Triangle rectangle

C’est un triangle qui possède un angle droit, de 90°. Les deux côtés qui encadrent cet angle sont les cathètes ; le côté situé en face est l’hypoténuse. Celle‑ci est toujours le côté le plus long.

La formule de l’aire d’un triangle rectangle

La formule générale de l’aire d’un triangle est : base × hauteur ÷ 2. Dans un triangle rectangle, c’est particulièrement simple : les deux cathètes sont déjà perpendiculaires. Vous pouvez donc choisir l’une comme base et l’autre comme hauteur, sans tracer de hauteur supplémentaire.

En notant a et b les côtés qui se rencontrent à l’angle droit : A = a × b ÷ 2. L’ordre n’a aucune importance : 6 × 8 donne le même produit que 8 × 6. En revanche, ne remplacez pas l’un de ces deux côtés par l’hypoténuse, sauf dans le cas particulier expliqué plus bas.

Quels côtés faut‑il mesurer ?

Sur un schéma, commencez par localiser l’angle droit : il est souvent signalé par un petit carré. Les deux segments qui se rejoignent à cet endroit sont les bonnes mesures. Ils peuvent être dessinés horizontalement et verticalement, mais ce n’est pas une obligation : l’orientation du triangle sur la feuille ne change pas son aire.

Le troisième côté est l’hypoténuse. Il relie les deux sommets qui ne portent pas l’angle droit. Parce qu’il est visuellement souvent présenté comme la « base » du dessin, il est fréquemment choisi par erreur. Or une base doit être associée à une hauteur perpendiculaire. Si vous prenez l’hypoténuse comme base, la hauteur n’est plus l’autre cathète : c’est un segment intérieur, perpendiculaire à l’hypoténuse.

Calculer l’aire pas à pas

Exemples de calculs avec des nombres entiers et décimaux

Exemple 1 : côtés de 9 cm et 12 cm

Les deux côtés de 9 cm et 12 cm se rejoignent à l’angle droit. On applique directement la formule : A = (9 × 12) ÷ 2 = 108 ÷ 2 = 54 cm². Il est inutile de calculer l’hypoténuse, même si elle mesure ici 15 cm.

Exemple 2 : côtés de 2,4 m et 1,75 m

A = (2,4 × 1,75) ÷ 2. Le produit vaut 4,2 m² ; la moitié vaut donc 2,1 m². Les nombres décimaux ne changent pas la méthode. Gardez les décimales pendant le calcul et arrondissez seulement à la fin si la consigne le demande.

Exemple 3 : un plan à l’échelle

Sur un plan à l’échelle 1/100, une cathète de 3 cm représente 3 m en réalité, et une autre de 4,5 cm représente 4,5 m. L’aire réelle est donc (3 × 4,5) ÷ 2 = 6,75 m². Il ne faut pas calculer l’aire avec les centimètres du plan puis convertir comme une longueur : une échelle affecte les surfaces au carré. Travailler directement avec les longueurs réelles évite cette erreur.

Calculer l’aire quand une longueur manque

Si les deux cathètes ne sont pas fournies mais que vous connaissez l’hypoténuse c et une cathète a, utilisez le théorème de Pythagore pour retrouver l’autre cathète b : b = √(c² − a²). Vous appliquez ensuite la formule d’aire habituelle.

Prenons une hypoténuse de 13 cm et une cathète de 5 cm. La seconde cathète vaut √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm. L’aire est alors (5 × 12) ÷ 2 = 30 cm². Vérifiez toujours que l’hypoténuse est bien la plus grande longueur : il est impossible d’avoir une hypoténuse de 5 cm et une cathète de 13 cm.

Autre cas : vous connaissez l’hypoténuse et la hauteur qui lui est perpendiculaire. Vous pouvez alors employer la formule générale A = hypoténuse × hauteur relative à l’hypoténuse ÷ 2. Avec une hypoténuse de 10 cm et une hauteur intérieure de 4 cm, l’aire vaut 20 cm². Cette hauteur n’est généralement pas l’un des côtés extérieurs du triangle.

Erreurs fréquentes et vérifications avant de rendre le résultat

La confusion la plus courante consiste à utiliser « le côté le plus long comme base » et « un autre côté comme hauteur ». Cette association n’est valable que si ces deux segments sont perpendiculaires. La formule base × hauteur ÷ 2 ne demande pas une base particulière ; elle demande une base et sa hauteur perpendiculaire.

Ne confondez pas non plus périmètre et aire. Le périmètre additionne les trois longueurs et s’exprime en cm ou en m. L’aire mesure la surface intérieure et s’exprime en cm², m² ou km². Pour une découpe de tissu, une surface de mur ou un terrain triangulaire, c’est l’aire qui permet d’estimer la quantité de matériau ; prévoyez ensuite une marge adaptée aux chutes et aux découpes.

Formules à retenir selon les informations connues

Lorsque les deux cathètes sont connues, retenez simplement A = a × b ÷ 2. Lorsque l’hypoténuse c et une cathète a sont données, calculez d’abord l’autre côté avec b = √(c² − a²), puis faites A = a × b ÷ 2. Enfin, si vous connaissez l’hypoténuse c et la hauteur h qui lui est relative, utilisez A = c × h ÷ 2.

Sur une calculatrice, saisissez les parenthèses pour éviter les ambiguïtés : (6 × 8) ÷ 2. Pour une racine carrée, utilisez la touche √ après avoir calculé c² − a². Si le calcul donne une racine non entière, conservez plusieurs décimales avant de calculer l’aire, puis arrondissez selon la précision des mesures de départ.