Comment multiplier des fractions

La règle est directe : pour calculer a/b × c/d, faites (a × c)/(b × d). Multipliez donc les nombres du haut entre eux, puis ceux du bas entre eux, et réduisez la fraction si possible. Par exemple : 2/3 × 5/7 = 10/21. Il ne faut pas chercher de dénominateur commun : cette étape sert à additionner ou soustraire des fractions, pas à les multiplier.

Fraction, numérateur et dénominateur

Une fraction a/b représente a parts parmi b parts égales. Le numérateur, a, est le nombre placé au-dessus de la barre ; le dénominateur, b, est placé au-dessous. Le dénominateur ne peut jamais être égal à zéro : une écriture comme 5/0 n’a pas de valeur.

La formule pour multiplier deux fractions

Avec deux fractions a/b et c/d, où b et d sont différents de zéro, la formule est : a/b × c/d = (a × c)/(b × d). La barre de fraction signifie ici « divisé par » : on calcule séparément le produit des numérateurs et le produit des dénominateurs.

Prenons 1/4 × 3/8. En haut : 1 × 3 = 3. En bas : 4 × 8 = 32. Le résultat est donc 3/32. Comme 3 et 32 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est déjà irréductible.

Multiplier des fractions en 6 étapes

Exemple détaillé : simplifier avant de multiplier

Calculez 4/6 × 9/14. Multiplier sans simplifier donne 36/84, une réponse exacte mais peu pratique. Faites plutôt les simplifications avant : 4 et 14 sont divisibles par 2, donc 4 devient 2 et 14 devient 7 ; puis 9 et 6 sont divisibles par 3, donc 9 devient 3 et 6 devient 2. Il reste 2/2 × 3/7 = 1 × 3/7 = 3/7.

Exemples selon le type de fractions

Multiplier une fraction par un nombre entier

Un nombre entier n est une fraction dont le dénominateur vaut 1 : n = n/1. Ainsi, pour 4 × 3/11, écrivez 4/1 × 3/11 = 12/11. Selon la consigne, laissez 12/11 ou écrivez 1 1/11. Dans les exercices scolaires français, une fraction impropre est généralement acceptée, sauf si l’énoncé demande explicitement un nombre mixte.

Multiplier des fractions négatives

La règle des signes est celle de la multiplication ordinaire. Un seul signe moins donne un résultat négatif : −3/4 × 2/5 = −6/20 = −3/10. Deux signes moins donnent un résultat positif : −3/4 × −2/5 = 6/20 = 3/10. Placez de préférence le signe « − » devant toute la fraction finale plutôt que dans le dénominateur.

Simplifier une fraction : avant ou après le calcul ?

Les deux méthodes donnent la même réponse. Vous pouvez multiplier entièrement, puis réduire : 3/5 × 10/12 = 30/60 = 1/2. Mais simplifier avant est souvent plus sûr : 10 et 5 se réduisent par 5, ce qui donne 3/1 × 2/12 ; puis 3 et 12 se réduisent par 3, soit 1/1 × 2/4 = 2/4 = 1/2.

Pour réduire une fraction, le numérateur et le dénominateur doivent être divisés par le même entier non nul. Pour 18/24, ils sont tous deux divisibles par 6 : 18 ÷ 6 = 3 et 24 ÷ 6 = 4, donc 18/24 = 3/4. Si vous ne voyez pas le plus grand diviseur commun immédiatement, réduisez progressivement : 18/24 → 9/12 → 3/4.

Comment savoir si une fraction est irréductible ?

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun supérieur à 1. Quelques tests accélèrent la vérification : si les deux nombres sont pairs, divisez par 2 ; s’ils se terminent par 0 ou 5, testez 5 ; si la somme de leurs chiffres est un multiple de 3, testez 3. Par exemple, 21/28 se réduit par 7 en 3/4, tandis que 10/21 est irréductible.

Pourquoi la règle « haut fois haut, bas fois bas » fonctionne

Multiplier par une fraction revient à prendre une partie d’une quantité. Par exemple, 2/3 × 3/4 signifie « prendre les deux tiers de trois quarts ». Si une unité est partagée en 4 quarts et que vous en gardez 3, puis que chaque quart est partagé en 3 parties égales et que vous en gardez 2, vous avez 2 × 3 = 6 petites parts sur 3 × 4 = 12, soit 6/12 = 1/2.

Cette lecture explique aussi un point utile : multiplier par une fraction positive inférieure à 1 diminue une quantité positive. Ainsi, 3/4 × 2/3 = 1/2, qui est inférieur à 3/4. À l’inverse, multiplier par une fraction supérieure à 1 peut augmenter la quantité : 3/4 × 5/3 = 5/4.

Les erreurs les plus fréquentes et comment les éviter

• Ajouter au lieu de multiplier : 2/3 × 4/5 ne vaut pas 6/8. Le bon calcul est (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15.
• Chercher un dénominateur commun : c’est nécessaire pour 2/3 + 4/5, pas pour 2/3 × 4/5.
• Oublier de convertir un nombre mixte : 1 1/2 × 2/3 ne se calcule pas avec « 1 1/2 » tel quel. Il faut d’abord écrire 3/2 × 2/3 = 1.
• Réduire un seul nombre : si vous divisez 8 par 4 dans 8/12, vous devez aussi diviser 12 par 4. Sinon, vous changez la valeur de la fraction.
• Oublier le signe : placez les signes moins dès le début du calcul, puis déterminez le signe final avant de réduire.
• Donner une fraction non réduite quand l’exercice demande une forme irréductible : 12/18 est correct en valeur, mais la réponse attendue est souvent 2/3.

Exercices corrigés pour s’entraîner

Essayez d’abord de simplifier mentalement, puis vérifiez vos calculs. La multiplication étant commutative, vous pouvez inverser l’ordre des deux fractions : 2/3 × 5/7 donne le même résultat que 5/7 × 2/3.

Dernier réflexe utile : si vous avez une calculatrice, utilisez‑la seulement pour contrôler la valeur décimale, pas pour choisir la méthode. Par exemple, 3/7 × 4/9 = 4/21 ≈ 0,1905 : si vous obtenez une valeur supérieure à 1, repérez immédiatement l’erreur, car les deux fractions de départ sont inférieures à 1.