Qu’est‑ce que le sommet d’une parabole ?

Le sommet d’une parabole est le point où sa courbe « tourne » : c’est son point le plus bas lorsqu’elle est ouverte vers le haut, et son point le plus haut lorsqu’elle est ouverte vers le bas. Pour une fonction écrite f(x) = ax² + bx + c, avec a non nul, ce point a pour abscisse α = −b/(2a) ; son ordonnée est β = f(α). On le note souvent S(α ; β).

Sommet d’une parabole

Dans le graphique d’une fonction du second degré, le sommet est l’unique point d’extrémum de la courbe. Il appartient à son axe de symétrie. En forme canonique f(x) = a(x − α)² + β, il se lit immédiatement : S(α ; β).

À quoi reconnaît‑on le sommet sur une parabole ?

Une fonction du second degré a la forme f(x) = ax² + bx + c, où a ne doit pas être égal à 0. Si a = 0, l’expression devient une fonction affine : son graphique est une droite, sans sommet de parabole. Le signe de a indique dans quel sens la courbe s’ouvre : vers le haut si a est positif, vers le bas si a est négatif.

Le sommet n’est donc pas forcément « en haut » : tout dépend du sens d’ouverture. Sur f(x) = 2x² − 8x + 3, la parabole est ouverte vers le haut puisque 2 est positif ; son sommet donne la plus petite valeur de f. Sur g(x) = −x² + 4x + 1, elle est ouverte vers le bas ; le sommet donne au contraire la plus grande valeur de g.

Comment calculer le sommet avec la forme développée ax² + bx + c ?

Quand l’équation est donnée sous la forme développée f(x) = ax² + bx + c, le calcul se fait toujours en deux temps : trouver l’abscisse α, puis calculer l’ordonnée β. Il faut conserver les parenthèses et les signes négatifs : c’est là que se produisent la plupart des erreurs.

La formule compacte à mémoriser est donc S(−b/(2a) ; f(−b/(2a))). Elle fonctionne pour toute fonction quadratique, à condition que a soit différent de zéro. En contrôle, écrire d’abord α = −b/(2a) limite les confusions entre l’abscisse et l’ordonnée.

Lire le sommet directement en forme canonique

La forme canonique est la forme la plus pratique pour lire le sommet : f(x) = a(x − α)² + β. Comme un carré est toujours positif ou nul, (x − α)² vaut 0 exactement lorsque x = α. À cet instant, f(x) = β : le sommet est S(α ; β), sans aucun calcul supplémentaire.

Exemple : f(x) = −3(x − 4)² + 7. Le sommet est S(4 ; 7). Le coefficient a = −3 est négatif : la parabole est tournée vers le bas et 7 est sa valeur maximale. Son axe de symétrie est la droite x = 4. Attention au signe à l’intérieur de la parenthèse : dans (x + 2)², on a x − (−2), donc α = −2. Le sommet de 5(x + 2)² − 1 est S(−2 ; −1), non S(2 ; −1).

Trouver l’ordonnée du sommet avec le discriminant

Il existe une seconde formule, utile lorsque le discriminant est déjà calculé. Pour f(x) = ax² + bx + c, on pose Δ = b² − 4ac. Les coordonnées du sommet sont alors : α = −b/(2a) et β = −Δ/(4a). Cette formule donne exactement la même ordonnée que β = f(α).

Prenons f(x) = x² − 6x + 5. On a a = 1, b = −6 et c = 5. D’abord, α = −(−6)/(2 × 1) = 3. Puis Δ = (−6)² − 4 × 1 × 5 = 16, donc β = −16/(4 × 1) = −4. Le sommet est S(3 ; −4). Vérification directe : f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.

Tracer une parabole à partir de son sommet et de son axe

Le sommet suffit à situer la courbe, mais pas à la dessiner complètement : il faut aussi connaître a. Commencez par placer S(α ; β), puis tracez légèrement l’axe vertical x = α. Calculez ensuite un ou deux points d’un côté de l’axe et reportez‑les à la même distance de l’autre côté. Reliez‑les par une courbe régulière, sans angle.

Pour f(x) = (x − 1)² − 4, le sommet est S(1 ; −4) et l’axe est x = 1. À une unité du sommet, pour x = 0 ou x = 2, on obtient f(x) = −3 : les points (0 ; −3) et (2 ; −3) sont symétriques. À deux unités, x = −1 ou x = 3, f(x) = 0 : la courbe passe par (−1 ; 0) et (3 ; 0). Ces cinq points donnent un tracé fiable.

Ce que le sommet permet de déduire immédiatement

Le sommet sert à bien plus qu’à dessiner une jolie courbe. Il donne la valeur minimale ou maximale de la fonction sur l’ensemble des réels. Si a > 0 et S(α ; β), alors f(x) est toujours supérieure ou égale à β : l’image de la fonction est [β ; +∞[. Si a < 0, f(x) est toujours inférieure ou égale à β : son image est ]−∞ ; β].

Il fixe aussi les variations : pour a > 0, f décroît sur ]−∞ ; α] puis croît sur [α ; +∞[ ; pour a < 0, c’est l’inverse. Enfin, l’axe x = α permet de retrouver un point symétrique. Si un point de la courbe a pour abscisse α − d, son symétrique a pour abscisse α + d et la même ordonnée.

Parabole de fonction et parabole géométrique : la nuance utile

Au collège et au lycée, on appelle généralement parabole la courbe représentative d’une fonction f(x) = ax² + bx + c. Son axe est vertical dans un repère habituel et son sommet se calcule avec les formules précédentes. En géométrie, une parabole peut aussi être définie comme l’ensemble des points à égale distance d’un foyer et d’une directrice ; le sommet se situe alors sur l’axe entre ces deux éléments. C’est la même famille de courbes, mais le vocabulaire et les données de départ diffèrent.

Pour une antenne parabolique ou un réflecteur, le point recherché est souvent le foyer, pas le sommet. Le sommet est le centre du creux de la surface ; le foyer se trouve devant lui, sur l’axe. Ne transposez donc pas une formule de fonction quadratique à une parabole physique sans connaître son repère et ses dimensions.